CALCULO VECTORIAL 2015 A: abril 2015

INTRODUCCION

Hola mi nombre es Eduardo Cardenas soy estudiante de la Escuela Politecnica Nacional, estoy cursando segundo semestre de la carrera ingenieria en petroleos y espero tener exitos en el semestre actual y sepamos aprovechar al maximo la clases de calculo vectorial para de esa manera llegar a alcanzar un gran conocimiento...Exitos.

ABRIL

PRIMERA SEMANA DE ABRIL

GEOMETRIA DEL ESPACIO

En (RXR) : f(x,y)=0 funcion implicita de dos variables

i) y=f(x) donde y es la variable independiente
ii) x=g(y) donde x es la variable independiente

Ejemplos :

ECUACION DE LA RECTA

PARA ENCONTRAR LA ECUACION VECTORIAL DE LA RECTA DADA UN PUNTO EN LA RECTA Y EL VECTOR DIRECTOR DE LA RECTA

SEGUNDA SEMANA DE ABRIL

Ecuación general del plano.
Ax + By + Cz + D = 0

Dependiendo de los valores de A,B o C el plano será paralela a un eje o un plano conformado por los ejes.
Por ejemplo:

Si A es igual a cero, el plano es paralelo al eje X. Siendo su ecuación By + Cz + D = 0
Si B es igual a cero, el plano es paralelo al eje Y. Siendo su ecuación Ax + Cz + D = 0
Si C es igual a cero, el plano es paralelo al eje Z. Siendo su ecuación Ax + By + D = 0
Si A y B es igual a cero, el plano es paralelo al plano XOY. Siendo su ecuación Cz + D = 0
Si A y C es igual a cero, el plano es paralelo al eje XOZ. Siendo su ecuación By + D = 0
Si B y C es igual a cero, el plano es paralelo al eje YOZ. Siendo su ecuación Ax + D = 0

Ecuación normal de un plano.

cosαX + cosβY+ cosγZ - P=0

Normalización de la ecuación general de un plano.

U= 1/√(A^2+B^2+C^2 )

Desviación de un punto respecto de un plano.

d es positivo si el punto y el origen están en sentidos apuestos.

d es negativo si el punto y el origen están del mismo lado del plano

ECUACION SEGMENTARIA

TERCERA SEMANA DE ABRIL

Haz de planos
Sabemos que todo plano puede rotar a través de un eje fijo, para este caso tomaremos una recta, de esta manera tendremos infinitos planos que se pueden intersecar en la misma curva. Mediante sus ecuaciones generales podemos deducir una ecuación general para el haz de planos formado.

ECUACIÓN DE LA DISTANCIA DE UN PUNTO AL PLANO

Superficies de segunda orden.
Se llama asi a las superficies en el espacio que tienen la ecuación
Ax^2 + By^2 + Cz^2 + 2Dxy + 2Eyz + 2Fxz + 2Gx + 2Hy + 2Kz + L =0

Se denominan también cuadráticas.
Utilizando un sistema de coordenadas ademado esta ocupación puede reducirse a expresiones mas simplificadas.
Para realizar el análisis de las superficies de segundo orden se va a proceder a de la sig manera

1.-Intersección con los ejes coordenados
2..Intersección con los planos coordenados
3.-Intersección con planos paralelos a los planos coordenados
4.-Trazado del bosquejo de superficie.

ELIPSOIDE

http://www.matematicasypoesia.com.es/matematicas/SupSegOrden.htm

Paraboloide elíptico

http://www.matematicasypoesia.com.es/matematicas/SupSegOrden.htm

http://www.matematicasypoesia.com.es/matematicas/SupSegOrden.htm

CUARTA SEMANA DE ABRIL

Funciones Vectoriales
Una función vectorial de variable vectorial es una regla que asocia a cada punto r de una cierta región n S ⊂ \ un vector m F(r) ∈ \ y se denota como : n m F S ∈ \ \ → Al conjunto S de valores que toma la variable independiente, se le denomina dominio y al conjunto de valores que toma F (r) se le llama imagen o recorrido. Las funciones vectoriales se conocen también como campos vectoriales y aquí se clasificarán en:

- Campos vectoriales de variable escalar
- Campos vectoriales de variable vectorial

De las funciones dadas, podemos realizar un análisis como por ejemplo:Límites, Continuidad, Derivadas, Integrales. También podemos realizar gráficos de apoyo en R2 en los que podemos determinar el dominio de la función

MAYO

PRIMERA SEMANA DE MAYO

EJERCICIOS REPECTO A LA FUNCIONES VECTORIALES

LONGITU DE LA CURVA

Triedro móvil
También llamado Triedro de Frenet, como hemos visto, en cada punto de la curva podemos definir tres vectores: tangente, normal y binormal. Juntos forman una base ortonormal de R3. Así a cada punto de la curva podemos asociar una base de R3, y al recorrerse la curva se mueve también esta base. Es una referencia móvil. Los tres vectores determinan tres planos ortogonales que los contienen, dando la impresión de que la base estuviese colocada en la esquina de una caja. Es por eso que la base también recibe el nombre de triedro (del griego tri=tres y hedron=caras) de Frenet. Es posible apreciar tres planos el osculador, el rectificante y el normal.

https://www.google.com.ec/search?q=plano+osculador&biw=1366&bih=673&source=lnms&tbm=isch&sa=X&ei=QixtVfi5M7bIsATL74DoAQ&sqi=2&ved=0CAYQ_AUoAQ#imgrc=Zp7W0-pZemEhdM%253A%3BLZ2pq_YiUBcjAM%3Bhttp%253A%252F%252Fmatcalculus.wdfiles.com%252Flocal--files%252Ffrenet%252FFoto7.jpg%3Bhttp%253A%252F%252Fmatcalculus.wikidot.com%252Ffrenet%3B388%3B399

RECTA TANGENCIAL+RECTA BINORMAL
+RECTA NORMAL PRINCIPAL
+PLANO OSCULADOR
+PLANO RECTIFICANTE
+PLANO NORMAL

Clases de curvaturasLa curvatura es una medida del cambio de dirección del vector tangente a una curva, cuanto más rápido cambia éste a medida que nos desplazamos a lo largo de la curva, se dice que es más grande la curvatura.La torsión es una medida del cambio de dirección del vector binormal: cuanto más rápido cambia, más rápido gira el vector binormal alrededor del vector tangente y más retorcida aparece la curva. Por lo tanto, para una curva totalmente contenida en el plano la torsión es nula ya que el vector binormal es constantemente perpendicular al plano que la contiene.
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SEMANA #3 (18-22) MAYO

Funciones de Varias Variables

Una función de valor real, f, de x, y, z, ... es una regla para obtener un nuevo numero, que se escribe como f(x, y, z, ...), a partir de los valores de una secuencia de variables independientes (x, y, z, ...).

La función f se llama una función de valor real de dos variables si hay dos variables independientes, una función de valor real de tres variables si hay tres variables independientes, y así sucesivamente.

Como las funciones de una variable, funciones de varias variables se pueden representar en forma numérica (por medio de una tabla de valores), en forma algebraica (por medio de una formula), y en forma gráfica (por medio de una gráfica).

f(x,y) = 2x +5y Función de dos variables

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Análisis del dominio de definición

Sea D un subconjunto de Rn . Si a cada (x1, . . . , xn) ∈ D le corresponde un único número real

  f (x1, . . . , xn)  se dice que f es una función de las variables x1, . . . , xn.
Ejemplo  Las funciones definidas
A (b, h) = b · h
I (x1, x2) = p1 · x1 + p2 · x2
f (x, y) = C · x exp(a)· y exp(1−a)
son funciones de dos variables.
El dominio y recorrido  son el conjunto D de la definición anterior se llama dominio de f, y el conjunto de valores f (x1, . . . , xn) correspondiente a dicho dominio se llama recorrido de f.

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SEMANA #4 (25-28) MAYO

Curvas de nivel

Cuando tenemos una función z = f(x, y) de dos variables reales y valor real, la gráfica de dicha función corresponde al conjunto gr (f):= {(x, y, f(x, y)): (X, y) ,¬ Dom (f)}. Al ubicar dichos puntos en el espacio R3, obtenemos una superficie en dicho espacio.

Una forma de estudiar dicha superficie, aunque en dos dimensiones, es considerar la intersección de dicha superficie con el plano z = k, donde k ,¬ Recorrido (f). De esta manera, obtenemos el conjunto {(x, y, k): f(x, y) = k}, el cual corresponde a la curva de nivel de la superficie z = f(x, y) con z = k. Al proyectar dicha intersección en el plano

x,y, obtenemos lo que se denomina curva de nivel.

Cuando comparamos una superficie z = f(x, y) con una montaña, el estudio de las curvas de nivel corresponde a lo que acontece de manera análoga cuando dicha montaña es representada en dos dimensiones por medio de un mapa, donde se dibujan los contornos de dicha montaña indicando cual es la altura en las coordenadas (x, y) de dicho contorno.

Límites de Funciones de Varias Variables

Para una función f de dos variables, decimos que lím (x,y)→(a,b) de f (x, y) = L, si existen los límites por TODOS los caminos posibles hacia el punto (a, b), y además coinciden con el valor de L.

Si nos acercamos por la recta y = x obtenemos como límite el valor 0. Si nos acercamos por otra recta, por ejemplo, y = 1, obtenemos el valor 2. Como estos límites no coinciden, entonces no existe el límite.

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Continuidad de funciones de Varias Variables

Una función f : Rn → R es continua en el punto (a1, . . . , an) si lím (x1,...,xn)→(a1,...,an) de

f (x1, . . . , xn) = f (a1, . . . , an). Diremos simplemente que f es continua si lo es para todo punto de su dominio. Intuitivamente, f es continua en (a1, . . . , an). Si su gráfica no tiene saltos, agujeros, asíntotas,etc. Caso contrario se debe proceder a obtener el límite para comprobar si puede ser discontinua evitable o discontinua inevitable.

DERIVADAS PARCIALES

Sea una función de dos variables z = f(x, y), se definen las derivadas parciales

1.- La razón de cambio de la variable z cuando x varia e y se mantiene constante

2.- La pendiente de la tangente a la curva del plano y=b obtenida como intersección de la superficie z=f(x,y) con dicho plano.

de la misma manera representa:

1.- La razón de cambio de la variable z cuando y varia y x se mantiene constante

2.- La pendiente de la tangente a la curva del plano x=a obtenida como intersección de la superficie z=f(x,y) con dicho plano.

Para la derivada de z "respecto de x" consideramos a la variable "y" como si fuera una constante, mientras que al hacer la derivada de z "respecto de y" consideramos a la variable "x" como si fuera constante.

EVIDENCIAS

JUNIO

SEGUNDA SEMANA DE JUNIO

DIFERENCIALES

DERIVADAS DIRECCIONALES
En una derivada direccional podemos determinar la direccion de maximo,menor,nulo crecimiento de la funcion.

VECTOR GRADIENTE

Donde teta es el ángulo entre y u . El valor máximo de cos de tetat es 1 y esto ocurre cuando teta es igual a 0. Por lo tanto, el valor máximo de es y se presenta cuando teta igual a 0, es
decir, cuando u tiene la misma dirección que .
DIRECCION DE MAXIMO CRECIMIENTO

PLANO TANGENTE A SUPERFICIES DE NIVEL

Ecuacion general del plano tangente

MAXIMOS Y MINIMOS

Una funcion tiene maximo f(x,y) tiene un maximo( MR) en (a,b) , si
f(x,y) ≤ f(a,b)    entonces f(a,b) es un maximo relativo (MR)

Si

f(x,y) ≥f(a,b)    entonces f(a,b) es un minimo relativo (mR)

Si las desigualdades se cumplen para todo (x,y) que pertemnecen al dominio de la funcion, entonces se dice que son maximos absolutos o minimos absolutos.

CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA

Suponga que las segundas derivadas parciales existen y son continuas en un disco de centro (a,b) y suponga que :

fx(a,b)=0 y    fy(x,y)=0
es decir (a,b) es un punto critico de f(x,y). Sea :

MAXIMOS Y MINIMOS ABSOLUTOS

-Si f es continua en un conjunto D cerrado y acotado en R^2, entonces f alcanza un valor maximo absoluto f(x,y) y un valor minimoabsoluto en algunos puntos (x1,y1) ; (x2,y2) en D.

-Para evaluar los estremos absolutos se debe:

1.- Evaluar la funcion en los puntos criticos de f(x,y) (PUNTOS ESTACIONARIOS)

2.- Evaluar la funcion en los puntos de la frontera.

3.- Elegir los valores mas grandes y los mas pequeños.

MAXIMOS Y MINIMOS CONDICIONADOS

Se llama extremo condicionado de f(x,y) al maximo o minimo valor de esta funcion alcanzando con la condiciones de que las variables independientes esten relacionadas entre si mediante la ecuacion g(x,y) =0 (Ecuacion de enlace)

Para hallar los estremos condicionados :

-Se debe formar la funcion de lagrange

F(x,y,ʎ )= f(x,y) + ʎg(x,y)

Este es ele metode de multiplicadores de lagrange

METODO DE LOS GRADIENTES

INTEGRALES MULTIPLES

En R^2 y=f(x)

INTEGRALES DOBLES

INTEGRAL TRIPLE

La integral doble representa el volumen bajo la superficie z=f(x,y) y sobre la region R. La region R debe ser una parte o todo el dominio.

TIPOS DE REGIONES:

1.-RECTANGULARES

2.- POLARES

determiante jacoviano fue multiplicado a la f(x,y) de la anterior funcion

Bibliografia:
-Calculo de varias variables de stewart
- https://www.blogger.com/blogger.g?blogID=6706358633850210809#editor/target=post;postID=2152270836214464646;onPublishedMenu=allposts;onClosedMenu=allposts;postNum=0;src=link

CALCULO VECTORIAL 2015 A

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viernes, 10 de abril de 2015

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